証明の極意＜逆から考える＞　〜長泉町で塾をお探しなら【濱塾】〜

2023/01/18

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中学生で独学で習得するのが難しい単元の代表といえば「証明」です。

問題集の解説には理路整然と書いていますが，考え方・着想はあまり載っていません。

今回は＜逆から考える＞ということをキーワードに証明の考え方を紹介します。
まず，こんな問題があったとしましょう。

四角形ABCDは長方形です。対角線BD上にBE＝DFとなる2点E，Fを取ったとすると，AE＝CFとなることを証明しましょう。

何も考えずに，等しい辺や角を出そうとすると，
仮定から，
　BE＝DF…①
長方形から，
　AB＝CD…②
　AD＝BC…③
　∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA…④
BF＝BE＋EF，DE＝DF＋EFでBE＝DFだから
　BF＝DE…⑤
AB//DCで，平行線の錯角が等しいから
　∠ABE＝∠CDF…⑥
AD//BCで，平行線の錯角が等しいから
　∠CBF＝∠ADE…⑦
とたくさん出てきてしまいます。

※図に書こうとすると下のような感じになります。全くわからないですね。

証明では，この中から証明するのに必要な長さや角度の関係を選択して導いていきます。
そのときに役に立つのが＜逆から考える＞という考え方です。

これは，結論をスタートにして，証明の下から上を考えていきます。

今回の結論は「AE＝CF」ですね。

AE＝CFを導くためには・・・
　①三角形の合同から
　②図形の性質（二等辺三角形や平行四辺形など）
のどちらになるか考えます。

この場合は①ですね。（基本的な証明は全て①ですが，②も途中から出てきます。）

①の合同を導くには，AEとCFが対応する辺になっている三角形を考えます。
　ア：△ABEと△CDF
　イ：△ADEと△CBF
ここでは，アを考えます。（イでも証明できますが，少し複雑になります。興味があったらやってみてください。）

ここで，ようやく等しい辺や角を探していきます。
△ABEと△CDFに関連するものだけでいいので，
　あ：BE＝DF（仮定）
　い：AB＝CD（長方形だから）
　う：∠ABE＝∠CDF（AB//DCで，平行線の錯角が等しいから）
を使えば解けます。あとは，ここから書き始めれば書けます。
こんな感じです。

△ABEと△CDFにおいて，
　あ：BE＝DF（仮定）
　い：AB＝CD（長方形だから）
　う：∠ABE＝∠CDF（AB//DCで，平行線の錯角が等しいから）
あ〜うより，2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　△ABE≡△CDF
よって，合同な図形の対応する辺は等しいので，
　AE＝CF